Approche Duale des représentations du groupe symétrique
 — Valentin Féray

Ce livre reprend le contenu d’une série de quatre leçons données au Collège de France en janvier/février 2013, dans le cadre de la fondation Claude-Antoine Peccot.

L’objectif du cours était de faire un petit panorama de certains résultats récents sur les représentations du groupe symétrique, particulièrement des résultats de nature combinatoire rentrant dans le cadre de l’approche duale, initiée par S. Kerov et G. Olshanski dans les années 90.

Après quelques rappels sur les représentations des groupes finis en général, le premier chapitre donne une construction des représentations irréductibles du groupe symétrique.

Celle-ci est ensuite utilisée dans le deuxième chapitre pour calculer les caractères irréductibles. On obtient une formule avec une riche combinatoire sous-jacente. Le troisième chapitre illustre une application de cette combinatoire à un problème posé par S. Kerov. On voit en particulier apparaître naturellement une opération combinatoire introduite récemment, l’inclusion-exclusion cyclique.

Dans le quatrième chapitre, est présentée l’approche de S. Kerov pour étudier des grands diagrammes de Young sous la mesure de Plancherel. Avec la théorie présentée dans les chapitres précédents, il est alors relativement aisé de décrire la forme limite de ces diagrammes. Enfin, dans le cinquième chapitre, est esquissé un cadre dans lequel la plupart des résultats précédents se généralisent conjecturalement.

Les trois premiers chapitres correspondent chacun à une séance de deux heures, alors que les chapitres 4 et 5 correspondent à la dernière séance.